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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1c

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado.

f x = ln ⁡ x e x 0 = 1

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 5 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada quinta de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = ln ⁡ x → f 1 = 0

f ' x = f ' ln ⁡ x = 1 x → f ' 1 = 1

f ' ' x = f ' ' 1 x = - 1 x 2 → f ' ' 1 = - 1

f ' ' ' x = f ' ' ' - 1 x 2 = 2 x 3 = sen ⁡ x → f ' ' ' 1 = 2

f 4 x = f 4 2 x 3 = - 6 x 4 → f 4 1 = - 6

f 5 x = f 5 - 6 x 4 = 24 x 5 → f 5 1 = 24

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f 4 1 4 ! x - 1 4 + f 5 1 5 ! x - 1 5 =

= 0 + 1 x - 1 + - 1 2 x - 1 2 + 2 6 x - 1 3 + - 6 24 x - 1 4 + 24 120 x - 1 5 =

= x - 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 3 x - 1 3 - 1 4 x - 1 4 + 1 5 x - 1 5

Resposta

P x = x - 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 3 x - 1 3 - 1 4 x - 1 4 + 1 5 x - 1 5

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