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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 68

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.

∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A ,       D = x , y | x + y ≤ 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Vamos começar por entender a nossa região D . O seu esboço é:

Passo 2

Agora, vamos analisar a simetria do problema. Como temos simetria em realção tanto ao eixo x quanto ao eixo y , funções ímpares integradas em intervalo simétrico valem zero. Como x 2 y 3 e y 2 sen ⁡ x , são ambas funções ímpares, pois satisfazem f x = - f - x , o seu resultado é 0 .

Desta forma, temos:

∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A = 2 ∬ D d A = 2 A D

Precisamos então calcular a área da nossa região. Como ela é composta de dois triângulos de base 2 e altura 1 , então:

A D = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2 = 2

Logo:

∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A = 2 ⋅ 2

∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A = 4

Resposta

∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A = 4

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