Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. ∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A ,D = x , y | x + y ≤ 1

∬ D 2 + x 2 y 3 - y 2 sen ⁡ x d A = 4

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 68

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Vamos começar por entender a nossa região . O seu esboço é:

Passo 2

Agora, vamos analisar a simetria do problema. Como temos simetria em realção tanto ao eixo quanto ao eixo , funções ímpares integradas em intervalo simétrico valem zero. Como e , são ambas funções ímpares, pois satisfazem , o seu resultado é .