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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 16

Calcule o valor da integral múltipla.

int int_D x y d A , o n d e D = {(x , y)| 0 <= y <= 1 , y^2 <= x <= y + 2 }

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: D = {(x , y)| 0 <= y <= 1 , y^2 <= x <= y + 2 } . Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo

int_0^1 int_(y^2)^(y + 2) x y d x d y

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

int_(y^2)^(y + 2) x y d x = [(x^2 y)/(2)]_(y^2)^(y + 2) = y * ((y + 2)^2 - y^4)

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

int_0^1 y * ((y + 2)^2 - y^4) d y = (1)/(2) * int_0^1 (y^3 + 4 y^2 + 4 y - y^5) d y =

(1)/(2) * [(y^4)/(4) + (4 y^3)/(3) + y^2 - (y^6)/(6)]_0^1 = (1)/(2) * [(1)/(4) + (4)/(3) + 1 - (1)/(6)] = (41)/(24)

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

(41)/(24)

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Escreva ∫ ∫ R f x , yd A como uma integral iterada, onde R é a região mostrada e f é uma função arbitrária contínua em R .
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