Uma luminária tem três lâmpadas, cada uma com vida média de . Se modelarmos a probabilidade de falha das lâmpadas por uma função densidade exponencial com média , determine a probabilidade das três lâmpadas virem a falhar dentro de um intervalo de .

Para isso, vamos dizer que temos as variáveis e que representa o tempo de vida de cada lâmpada. Para cada lâmpada em individual, ela deve seguir a função explicada acima, com horas:

Agora vem o pulo do gato: como as três variáveis são independentes, então a função de probabilidade conjunta será simplesmente a multiplicação entre as três:

Lembrando que , então:

Queremos que as lâmpadas falhem em um total de 1000 horas. Ou seja, queremos restringir nossas variáveis e em:

Dessa forma, o que queremos é calcular , ou equivalente onde é a região sólida no primeiro octante limitada pelos planos de coordenadas e o plano . O plano encontra o plano na linha , então temos:

Lembrando que:

Teremos que:

Integrando:

Aplicando os limites de integração:

Fazendo a multiplicação distributiva no termo dos parênteses:

Agora, nossa segunda integral será:

Vamos calcular as integrais acima: para a primeira

Simplificando:

Fazendo a distributiva no termo dos parênteses:

Para a segunda integral, temos que:

Juntando, temos:

Finalmente... teremos:

Tirando as constantes para fora e escrevendo como uma subtração de integrais:

Integrando, finalmente:

Usando uma calculadora, temos que:

Ufa... Prontinho!