Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ D yd A onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas x = y 2ex = 8 - y 2

Enunciado

E aí galerinha, tudo bem?! Vamos nessa!!

Precisamos calcular o valor da seguinte integral:

onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas:

O primeiro passo é fazer um esboço das curvas para conhecer nossa região, pode usar o Geogebra para você ter uma precisão.

Ai vamos comparar o gráfico com as regiões de integração do Tipo I e II. E ver se podemos utilizar alguma das duas para montar nossa integral.

Região Tipo I tem essa cara:

Já a região Tipo II:

Feito essa comparação e definido o tipo de região, é só montar e resolver a integral.

Bora lá!!

Sabemos que a região está no primeiro quadrante limitada pelas parábolas .

Utilizando o Geogebra como apoio para termos um gráfico preciso, obtemos:

Repare que nossa região de interesse é somente a pintada em amarelo, porque queremos apenas no primeiro quadrante.

Observando e comparando com as regiões tipo I e II, temos que essa região é do tipo II:

Logo, nossos intervalos de integração são:

Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo:

Sabemos como é nossa integral:

Agora vamos começar a integração, lembrando que começamos de dentro para fora.

Integrando em , vamos ter:

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

Simplificando, temos:

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida. Integrando em , temos:

Aplicando os limites de integração:

Assim, nossa resposta é: