Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D y   d A

onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas x = y 2   e   x = 8 - y 2

Passo 1

E aí galerinha, tudo bem?! Vamos nessa!!

Precisamos calcular o valor da seguinte integral:

∫ ∫ D y   d A

onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas:

x = y 2

x = 8 - y 2

O primeiro passo é fazer um esboço das curvas para conhecer nossa região, pode usar o Geogebra para você ter uma precisão.

Ai vamos comparar o gráfico com as regiões de integração do Tipo I e II. E ver se podemos utilizar alguma das duas para montar nossa integral.

Região Tipo I tem essa cara:

Já a região Tipo II:

Feito essa comparação e definido o tipo de região, é só montar e resolver a integral.

Bora lá!!

Passo 2

Sabemos que a região D está no primeiro quadrante limitada pelas parábolas x = y 2   e   x = 8 - y 2 .

Utilizando o Geogebra como apoio para termos um gráfico preciso, obtemos:

Repare que nossa região de interesse é somente a pintada em amarelo, porque queremos apenas no primeiro quadrante.

Observando e comparando com as regiões tipo I e II, temos que essa região é do tipo II:

Logo, nossos intervalos de integração são:

y 2 ≤ x ≤ 8 - y 2

0 ≤ x ≤ 2

Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo:

∫ 0 2 ∫ y 2 8 - y 2 y   d x   d y  

Passo 3

Sabemos como é nossa integral:

∫ 0 2 ∫ y 2 8 - y 2 y   d x   d y  

Agora vamos começar a integração, lembrando que começamos de dentro para fora.

Integrando em d x , vamos ter:

∫ 0 2 y x y 2 8 - y 2 d y  

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

∫ 0 2 y 8 - y 2 - y 2 d y  

Simplificando, temos:

∫ 0 2 8 y - 2 y 2   d y

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida. Integrando em d y , temos:

8 y 2 2 - 2 y 4 4 0 2

Aplicando os limites de integração:

16 - 32 4 = 8

Assim, nossa resposta é:

8

Resposta

8

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