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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 20

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D y   d A

Onde D é a região do primeiro quadrante que está acima da hipérbole x y = 1 e da reta y = x e abaixo da reta y = 2 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: D é a região do primeiro quadrante que está acima da hipérbole x y = 1 e da reta y = x e abaixo da reta y = 2 . Nossa região de integração é dada por

Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo

∫ 1 2 ∫ 1 y y y   d x   d y  

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 1 2 ∫ 1 y y y   d x   d y  

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 1 / y y y   d x   = x y 1 y y = y - 1 y ⋅ y

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 1 2 y - 1 y ⋅ y   d y = y 3 3 - y 1 2 = 8 3 - 2 - 1 3 + 1 = 4 3

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

4 3

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