Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D y 1 + x 2   d A ,   o n d e   D   é   l i m i t a d o   p o r   y = x , y = 0 , x = 1

Passo 1

E aí pessoal, tudo bom com vocês? Vamos lá!

Precisamos calcular a seguinte integral:

∫ ∫ D y 1 + x 2   d A

Onde D é limitado por:

y = x

y = 0

x = 1

Para resolver, vamos primeiramente ter que achar os intervalos de integração. Ai sim montar nossa integral e resolvê-la.

Uma dica aqui, é vocês fazerem um esboço da região pois vai ficar muito claro os intervalos. Você vai perceber que temos uma região do Tipo I:

Ou pode observar os intervalos dados. Repare que já temos os intervalos de y , certo?

Ele varia da curva que está abaixo y = 0 até a curva que está acima y = x . Logo, temos:

0 ≤ y ≤ x  

Para descobrir o intervalo de x , vamos verificar quando y = 0 na curva:

y = x

Vamos ter:

0 = x

x = 0

Logo, o intervalo de x é:

0 ≤ x ≤ 1  

Agora é só montar a integral e resolver.

Vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos avaliar nossa região D primeiro.

Onde D é limitado por:

y = x

y = 0

x = 1

Fazendo o gráfico com o auxílio do Geogebra para uma melhor precisão, temos:

Observe que temos os intervalos exatamente como falamos no passo 1 :

0 ≤ y ≤ x  

0 ≤ x ≤ 1  

Isso é uma região do Tipo I.

Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo:

∫ 0 1 ∫ 0 x y 1 + x 2   d y   d x  

Passo 3

Beleza até aqui?!

Agora que temos nossa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 x y 1 + x 2   d y   d x  

Podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, integrando de dentro pra fora.

Então vamos começar integrando em d y , e tudo que não depender de y consideramos uma constante. Ficando assim:

∫ 0 1 1 1 + x 2 ∫ 0 x y d y d x  

Integrando em d y , temos:

∫ 0 1 1 1 + x 2 ⋅ y 2 2 0 x d x  

Aplicando os limites de integração, tem-se:

∫ 0 1 1 2 x 1 + x 2 d x  

Passo 4

Para resolver a integral em d x , vamos ter que fazer uma substituição do tipo:

u =   1 + x 2

d u 2 = x   d x

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida:

∫ 0 1 1 2 1 u d u 2

Integrando e voltando a variável x , temos:

1 4 ln ⁡ 1 + x 2 0 1

Aplicando os limites de integração, temos:

1 4 ln ⁡ 1 + 1 2 - 1 4 ln ��� 1 + 0 2

Como sabemos que ln ⁡ 1 = 0 .

Temos como resposta:

ln ⁡ 2 4

Resposta

ln ⁡ 2 4

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