n) int e^(sqrt(2) x) d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I = int e^(sqrt(2) x) d x

Não esquece: int e^x d x = e^x + c

Também é bom lembrarmos essa derivada (e^(a x))^' = a e^(a x)

Juntando as duas informações,

int e^(a x) d x = (e^x)/(a) + c

Onde, a é uma constante qualquer.

Passo 2

Resolvendo! O enunciado nos forneceu a seguinte integral,

I = int e^(sqrt(2) x) d x

Repara que o nosso expoente é sqrt(2) x , logo temos que a nossa constante é a = sqrt(2) .

Substituindo na solução encontrada no passo 1, temos,

I = int e^(sqrt(2) x) d x = (1)/(sqrt(2)) * e^(sqrt(2) x) + c

Podemos reescrever essa solução, tirando a raiz quadrada do denominador! A gente faz isso multiplicando sqrt(2) em cima e embaixo, então temos que a nossa integral é

I = int e^(sqrt(2) x) d x = (sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = (sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I^' = ((sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c)^' = (sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) * ( sqrt(2) ) = e^(sqrt(2) x)

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

(sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c

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