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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3d

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação.

d )   ∫ sin ⁡ 4 t   d t

Passo 1

Podemos perceber que essa integral se trata de uma primitiva imediata dada por ∫ sin ⁡ α t   d t =   - 1 α cos ⁡ α t + k , sendo k   uma constante.

Onde, podemos ver que, nesse caso, α = 4 .

Passo 2

Substituindo o valor de α na primitiva, obtemos:

∫ sin ⁡ 4 t   d t =   - 1 4 cos ⁡ 4 t + k

Passo 3

Devemos derivar para verificar o resultado que encontramos. Para isso, devemos nos lembrar que, pela regra da cadeia, cos ⁡ u = - u ' sin ⁡ u . Além disso, também sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero. Logo,

- 1 4 cos ⁡ 4 t + k ' =   - 1 4 cos ⁡ 4 t ' + k ' =   - - 4 1 4 sin ⁡ 4 t + 0 = sin ⁡ 4 t    

Ou seja, confirmamos o resultado pela derivada.

Resposta

Portanto, a resposta da integral é

∫ sin ⁡ 4 t   d t =   - 1 4 cos ⁡ 4 t + k

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Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 1 2 x x + 2d x (Teorema dado no livro)
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 1 2 x 2 + 5d x (Teorema dado no livro)
b)∫ x d x
e)∫ x 2 5 d x
d)∫ x d x