Determine a função y = y(x), x > 0 , tal que

dy/dx = 3 + 1/x e y(1) = 2

Passo 1

Olá, pessoal! Nessa questão, o enunciado forneceu a seguinte derivada de y em relação a x :

d y d x = 3 + 1 x

E ele perguntou quem é y ( x ) . Para eu resolver isso, eu tenho que fazer a operação inversa da derivada, ou seja, integrar.

Logo,

y ( x ) = ∫ 3 + 1 x d x

A gente pode escrever essa integral assim,

y x = ∫ 3 d x + ∫ 1 x d x

Agora vamos integrar!

Passo 2

Calculando a primeira integral:

∫ 3 d x = 3 x + C 1

Calculando a segunda integral:

∫ d x x = ln ⁡ x + C 2

Somanda as duas, temos

y x = ∫ 3 d x + ∫ 1 x d x = 3 x + ln ⁡ x + C

Onde, C é a nossa constante de integração.

Passo 3

Agora só falta a gente descobrir quem é o nosso C .

Para isso vamos usar outra informação que o enunciado deu,

y 1 = 2

Substituindo na equação que encontramos y x = 3 x + ln ⁡ x + C , ficamos com

y 1 = 2 = 3 ∙ 1 + ln ⁡ 1 + C

C = 2 - 3 = - 1

Assim,

y x = 3 x + ln ⁡ x - 1

Fim!!!

Resposta

y x = 3 x + ln ⁡ x - 1

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