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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 6b

Determine a função y = y (x) , x > 0 , tal que

(d y)/(d x) = 3 + (1)/(x) e y (1) = 2

Passo 1

Olá, pessoal! Nessa questão, o enunciado forneceu a seguinte derivada de y em relação a x :

(d y)/(d x) = 3 + (1)/(x)

E ele perguntou quem é y ( x ) . Para eu resolver isso, eu tenho que fazer a operação inversa da derivada, ou seja, integrar.

Logo,

y ( x ) = int (3 + (1)/(x)) d x

A gente pode escrever essa integral assim,

y (x) = int 3 d x + int (1)/(x) d x

Agora vamos integrar!

Passo 2

Calculando a primeira integral:

int 3 d x = 3 x + C_1

Calculando a segunda integral:

int (d x)/(x) = ln x + C_2

Somanda as duas, temos

y (x) = int 3 d x + int (1)/(x) d x = 3 x + ln x + C

Onde, C é a nossa constante de integração.

Passo 3

Agora só falta a gente descobrir quem é o nosso C .

Para isso vamos usar outra informação que o enunciado deu,

y (1) = 2

Substituindo na equação que encontramos y (x) = 3 x + ln x + C , ficamos com

y (1) = 2 = 3 * 1 + ln 1 + C

C = 2 - 3 = - 1

Assim,

y (x) = 3 x + ln x - 1

Fim!!!

Resposta

y (x) = 3 x + ln x - 1

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