Utilize as coordenadas esféricas.
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio e seu centro.
Passo 1
Queremos achar a distância média de um ponto em uma bola de raio com relação ao seu centro. Basicamente, o que usaremos para resolver isso é o valor médio de uma função :
em que é o volume da região de integração . No nosso caso, o volume da região de integração é o volume da esfera:
Assim,
Já a função que queremos usar é a distância até à origem, que é dada por:
Usando coordenadas esféricas,
Além disso, temos que :
Passo 2
Como vamos considerar a esfera toda na integração, temos que
Assim,
Portanto,
Desta forma,