Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 36
Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de .
Passo 1
Oi galera, tudo bem?
A questão quer o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera por dois planos.
Pensem em uma cunha esférica como se fosse um gomo de bergamota! (ou mexerica, dependendo da sua região! hahaha)
Considerando o primeiro plano como o plano e o outro plano . Então varia entre:
Para calcular esse volume, vamos utilizar coordenadas esféricas. Então devemos determinar os limites das variáveis .
Passo 2
Para é tranquilo, pois como o raio da esfera é então varia entre:
Agora só falta !
Como queremos o gomo inteiro, o ângulo varia entre:
Relembrando que o diferencial de volume em coordenadas esféricas é: .
Agora é só calcular o volume!
Passo 3
Legal! Substituindo tudo na integral tripla temos:
Vamos começar integrando pela integral de dentro em função de , tratando as demais variáveis como constante:
Aplicando os limites em e integrando em , temos:
Agora falta nossa integral em :
Aplicando os limites de integração:
Beleza! É esse o volume pedido!