Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 8
Seja . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1,2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento de .
Passo 1
Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Primeiro, temos que sabe que o vetor gradiente mostra no plano a direção de maior crescimento da função. Caso você não saiba, vetor gradiente é um vetor formado pelas derivadas parcias de .
Passo 2
Portanto galera, sabemos que se a nossa função corresponde a , para saber o vetor gradiente basta deriva-la! Logo, nosso gradiente é igual a:
Passo 3
E esse gradiente no nosso ponto... ele é igual a quanto?
Logo,
Nada mudou porque nosso gradiente não varia com nem com !! Agora temos só que parametrizar nossa reta!!
Passo 4
Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:
Para o nosso caso:
Assim:
e
Onde é meu parâmetro!
Resposta
e