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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 9

Calcule

9. int ( 6 t^(2 ) root(3)(t) )dt

Passo 1

Começamos utilizando um conceito de radiciação que diz que qualquer raiz pode ser escrita como um exponencial, nesse caso é possível escrever a integral proposta da seguinte forma:

I = int ( 6 t^2 ) ( t^((1)/(3)) ) d t

Agora, a xpressão apresenta uma multiplicação entre duas bases iguais, porém com expoentes diferentes, nesse caso basta conservar a base e somar os expoentes de modo que a integral assume uma nova cara.

I = int ( 6 t^((7)/(3)) ) d t

Passo 2

Agora começa a resolução da integral. E para organizar melhor a resolução, todas as constantes dentro da integral passam para o lado de fora se essas (constantes) estiverem multiplicando a variável em questão. Dessa maneira encontramos a seguinte relação para a integral:

I = int ( 6 t^((7)/(3)) ) d t = 6 int ( t^((7)/(3)) ) d t

Passamos então a resolução da integral.

Passo 3

Vamos recordar que pela regra de integral temos que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode ser resolvida da seguinte maneira:

I= int ( t^n ) d t = (t)/(n + 1)^(n + 1) + c

onde n é o expoente da variável. Agora aplicaremos esse conceito a integral encontrada acima.

I = 6 int ( t^((7)/(3)) ) d t

I = 6 ((t^((7)/(3) + 1))/((7)/(3) + 1)) + c

I = 6 ((t^((10)/(3)))/((10)/(3))) + c

Não se esqueçam de que o resultado da integral sempre vem acompanhado da soma de uma constante, ela serve pra diferenciar a sua função das infinitas que são paralelas a ela.

Resposta

Pronto, chegamos ao resultado final.

I = (18 t^((10)/(3)))/(10) + c

.

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