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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 17

17. int (8 x^4 + 4 x^3 - 6 x^2 - 4 x + 5) d x

Passo 1

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int (8 x^4) d x ] + [ int ( 4 x^3 ) d x ] - [ int ( 6 x^2 ) d x ] - [ int ( 4 x ) d x ] + [ int 5 d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 8 int ( x^4 ) d x ] + [ 4 int (x^3) d x ] - [ 6 int (x^2) d x ] - [4 int (x) d x] + [ 5 int (1) d x ]

Passo 3

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Quando estamos resolvendo a integral proposta, percebemos que aparece uma integral de uma constante, podemos resolver essa integral da seguinte forma:

I = 5 int (1) d x

I = 5 int (x^0) d x

Sabendo que qualquer valor elevado ao expoente zero(0) é igual a um (1) então podemos escrever a integral acima da seguinte forma.

I = 5 int ( x^0 ) d x = 5 (x^(0 + 1)) = 5 x

Tendo agora a base teórica necessário, passamos ao próximo passo.

Passo 4

Agora é possível dar início á resolução da integral:

I = [ 8 int ( x^4 ) d x ] + [ 4 int (x^3) d x ] - [ 6 int (x^2) d x ] - [4 int (x) d x] + [ 5 int (1) d x ]

I = [8 ((x^(4 + 1))/(4 + 1))] + [4 ((x^(3 + 1))/(3 + 1))] - [6 ((x^(2 + 1))/(2 + 1))] - [4 ((x)/(1 + 1)^(1 + 1))] + 5 (x) + c

I = (8 x^5)/(5) + (4 x^3)/(4) - (6 x^3)/(3) - (4 x^2)/(2) + 5 x + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Chegamos então ao seguinte resultado:

I = (8 x^5)/(5) + x^4 - 2 x^3 - 2 x^2 + 5 x + c

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