Enunciado

8. Calcule

a)

int (1)/(5 + x^2) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int (1)/(5 + x^2) d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

int (d u)/(1 + u^2) = arctg (u) + C

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho!

Passo 2

Vamos ver o termo que queremos integrar.

E = (1)/(5 + x^2)

Lá no passo 1, vemos que o denominador é 1 + u^2 . Então vamos colocar o 5 em evidencia!

E = (1)/(5 (1 + (x^2)/(5)))

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = int (1)/(5 (1 + (x^2)/(5))) d x

Tirando 5 da integral:

I = (1)/(5) int (1)/(1 + (x^2)/(5)) d x

Passo 3

Agora é só fazermos a seguinte troca:

u^2 = (x^2)/(5) -> u = (x)/(sqrt(5))

Derivando,

d u = (d x)/(sqrt(5)) -> d x = sqrt(5) d u

Então a integral fica:

I = (1)/(5) sqrt(5) int (1)/((1 + u^2)) d u

Usando o resultado do Passo 1:

I = (sqrt(5))/(5) (arctg (u) + C)

Voltando para variável x e juntando as constantes:

u = (x)/(sqrt(5))

Substituindo o u e juntando as constantes:

I = (sqrt(5))/(5) arctg ((x)/(sqrt(5))) + k

Resposta

int (1)/(5 + x^2) d x = (sqrt(5))/(5) arctg ((x)/(sqrt(5))) + k

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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
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