Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 4

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

Passo 1

Fala, meus amigos! Tranquilo?

Nossa questãozinha pede para mudarmos as coordenadas retangulares:

Para coordenadas esféricas.

Ou seja, temos uma coordenada do tipo e queremos transformá-la numa coordenada do tipo .

Pra resolver essa questão não tem mistério. Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para correlacionarmos com os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas e coordenadas retangulares são dadas da seguinte forma:

De maneira inversa, temos que:

Com essas relações em mãos, fazer essa transição fica bem simples.

Vem comigo!

Passo 2

Letra a)

Vamos começar encontrando a variável . A transformação dela para coordenadas retangulares é:

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

Agora, sabendo o argumento , podemos usar a relação da componente com o ângulo :

Assim temos:

Daí o ângulo que nos dá é

E por fim para determinar o ângulo podemos usar tanto a coordenada , quanto a . Vou usar a coordenada . A relação entre ela e os ângulos e é:

Daí:

Substituindo pelo que acabamos de encontrar:

Calculando o arco seno do ângulo:

Mas como , então a escolha correta é

Assim em coordenadas esféricas o ponto é

Certo? Vamos pra letra b? Então borá lá!

Passo 3

Letra b)

Vamos começar novamente encontrando a variável . A transformação dela para coordenadas retangulares (como já vimos no passo anterior) é:

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

Agora, sabendo o argumento , podemos usar a relação da componente com o ângulo :

Assim temos:

Daí o ângulo que nos dá é

E por fim para determinar o ângulo podemos usar tanto a coordenada , quanto a . Vou usar novamente a coordenada . A relação entre ela e os ângulos e é: