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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 3

Calcule a massa do sólido

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2

Supondo que a densida no ponto ( x , y , z ) é proporcional à distância deste ponto ao plano x y .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla para o calculo da massa, usando uma transformação para coordenadas esféricas e calculando o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! O enunciado nos diz que existe uma constante de proporcionalidade para a distância do ponto até o plano x y . Sabemos que a distância do ponto até o plano x y é nada mais, nada menos que z , assim temos que nossa função densidade será

δ x , y , z = k ⋅ z

Aplicando também uma mudança para coordenadas esféricas, temos que

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y ⋅ d z = ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ . Os novos intervalos de integração serão

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Substituindo na integral, ficamos com

M = ∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z  

= k ⋅ ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 ρ ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ ρ 2 ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ

= k ⋅ ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 ρ 3 ⋅ sin ⁡ 2 ϕ 2 ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ

= k ⋅ ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 ⋅ π sin ⁡ 2 ϕ 2 ρ 4 4 0 1 d θ ⋅ d ϕ

= k ⋅ ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 ⋅ π sin ⁡ 2 ϕ 8 d θ ⋅ d ϕ

= k ⋅ ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 ϕ 8 θ 0 2 π d ϕ

= k ⋅ ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 ϕ 4 π d ϕ

= k π 4 ⋅ - cos ⁡ 2 ϕ 2 0 π 4

= k π 4 ⋅ - cos ⁡ π 2 2 + cos ⁡ 0 2

= k π 8

Resposta

k π 8

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