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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1h

Calcule

h) int int int_B y * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + 4 * y^2 <= 1 , 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B y * d x * d y * d z = int int_K y * [int_0^1 d z] * d x * d y

Temos que K será a circunferência dada por x^2 + 4 * y^2 <= 1 . Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = rho * cos theta

y = (1)/(2) * rho * sin theta

Como é um circulo, temos que theta irá variar de 0 <= theta <= 2 * pi . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 <= rho <= 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x * d y = (1)/(2) * rho * d rho * d theta . Finalmente podemos resolver a integral, que será

int int_K y * [1 - 0] * d x * d y = int int_K y * d x * d y =

= int_0^(2 * pi) int_0^1 (rho * sin theta) * (1)/(2) * rho * d rho * d theta = int_0^(2 * pi) sin theta * d theta * int_0^1 rho^2 * rho = [- cos theta]_0^(2 * pi) * (1)/(3) =

= 0

Resposta

int int int_B y * d x * d y * d z = 0

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) j )x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 - 3 x 2 - 3 y 2 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)l) ( x - a ) 2 + y 2 ≤ a 2 e x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ⋅ a 2 , z ≥ 0( a0 ) .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)f) x 2 + 4 ⋅ y 2 + 9 ⋅ z 2 ≤ 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)b) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x 2 e 0 ≤ z ≤ x + y 2
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)i) x 2 + y 2 ≤ 1 e x 2 + z 2 ≤ 1 .