Calcule

h) ∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 + (4\*y)^2 <= 1 , 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K y ⋅ ∫ 0 1 d z ⋅ d x ⋅ d y

Temos que K será a circunferência dada por x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 . Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = 1 2 ⋅ ρ ⋅ sin ⁡ θ

Como é um circulo, temos que θ irá variar de 0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 ≤ ρ ≤ 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x ⋅ d y = 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Finalmente podemos resolver a integral, que será

∫ ∫ K y ⋅ 1 - 0 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K y ⋅ d x ⋅ d y =

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 ρ ⋅ sin ⁡ θ ⋅ 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π sin ⁡ θ ⋅ d θ ⋅ ∫ 0 1 ρ 2 ⋅ ρ = - cos ⁡ θ 0 2 ⋅ π ⋅ 1 3 =

= 0

Resposta

∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 0

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