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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2j

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

j )   x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 - 3 x 2 - 3 y 2 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ x 2 + y 2 4 - 3 x 2 - 3 y 2 d z ⋅ d x ⋅ d y

= ∫ ∫ K [ 4 - 3 x 2 - 3 y 2 - ( x 2 + y 2 ) ] d x ⋅ d y

Nosso K , para esse problema, Pode ser definido como a sombra de uma rosquinha. A imagem de dentro é uma circunferência de raio 1 . Enquanto a cirfunferencia de fora vamos reescrevela

4 - 3 x 2 - y 2 ≥ 0 → 4 - 3 x 3 - y 2 ≥ 4

Assim temos que

3 x 2 + 3 y 2 ≤ 4 → x 2 / 3 2 + y 2 / 3 2 ≤ 1

Ou seja, temos uma circunferência de raio 2 / 3

Assim vamos fazer a seguinte parametrização

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

1 ≤ ρ ≤ 2 / 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

∫ 0 2 π ∫ 1 2 / 3 4 - 3 ρ 2 - ρ 2 ρ   d ρ   d θ

Para facilitar, vamos dividir em duas integrais.

A primeira

= ∫ 0 2 π ∫ 1 2 / 3 4 - 3 ρ 2 ρ   d ρ   d θ

Fazendo 4 - 3 ρ 2 = u → ρ   d ρ =   - d u / 6 e quando ρ = 1 → u = 1 e ρ = 2 3 → u = 0

Ou seja

- ∫ 0 2 π ∫ 1 0 u   d u = - ∫ 0 2 π 2 3 u 3 2 1 0 = 4 π 3

Agora a segunda integral fazemos mais simples ainda, onde

- ∫ 0 2 π ∫ 1 2 3 ρ 3 d ρ = - 2 π ρ 4 4 1 2 3 = - π 2 8 9 - 1 4 = - 23 π 64

Assim temos que

∫ 0 2 π ∫ 1 2 / 3 4 - 3 ρ 2 - ρ 2 ρ   d ρ   d θ = 4 π 3 - 23 π 64 = 187 192 π

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 187 192 π

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