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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2l

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

l) ( x - a ) 2 + y 2 ≤ a 2 e x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ⋅ a 2 , z ≥ 0   ( a > 0 ) .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ 0 4 ⋅ a 2 - x 2 - y 2 d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 4 ⋅ a 2 - x 2 - y 2 ⋅ d x ⋅ d y

Nosso K , para esse problema, será um círculo descrito por ( x - a ) 2 + y 2 ≤ a 2 . Podemos fazer uma transformação para coordenadas polares, ficando

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 2 ⋅ a ⋅ cos ⁡ θ

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ⋅ a ⋅ cos ⁡ θ 4 ⋅ a 2 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = 2 ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ⋅ a ⋅ cos ⁡ θ 4 ⋅ a 2 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ =

= 2 3 ⋅ ∫ 0 π 2 4 ⋅ a 2 - ρ 2 3 2 0 2 ⋅ a ⋅ cos ⁡ θ ⋅ d θ = 2 3 ⋅ ∫ 0 π 2 8 ⋅ a 3 ⋅ d θ - 2 3 ⋅ ∫ 0 π 2 8 ⋅ a 3 ⋅ cos 3 ⁡ θ ⋅ d θ =

= 16 ⋅ a 3 3 ⋅ π 2 - 2 3

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 16 ⋅ a 3 3 ⋅ π 2 - 2 3

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