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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2i

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

i) x 2 + y 2 ≤ 1 e x 2 + z 2 ≤ 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 d z ⋅ d x ⋅ d y = 2 ⋅ ∫ ∫ K ∫ 0 1 - x 2 d z ⋅ d x ⋅ d y =

= 2 ⋅ ∫ ∫ K 1 - x 2 ⋅ d x ⋅ d y

Nosso K , para esse problema, será um círculo descrito por x 2 + y 2 ≤ 1 . Podemos fazer uma transformação para coordenadas polares, ficando

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

8 ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 1 - ρ 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = - 8 3 ⋅ ∫ 0 π 2 sec 2 ⁡ θ ⋅ 1 - ρ 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ 3 2 0 1 ⋅ d θ =

= - 8 3 ⋅ ∫ 0 π 2 sec 2 ⁡ θ ⋅ sin 3 ⁡ θ - sec 2 ⁡ θ ⋅ d θ

Vamos precisar aplicar o limite no resultado da integral para obter o valor exato do volume. Temos que, por valores tabelados, que o a integral de sec 2 ⁡ θ é igual a tan ⁡ θ e que sin 3 ⁡ θ é cos ⁡ θ + 1 cos ⁡ θ , assim chegamos que

8 3 ⋅ lim s → π 2 ⁡ ∫ 0 s sec 2 ⁡ θ - sec 2 ⁡ θ ⋅ sin 3 ⁡ θ ⋅ d θ = 8 3 ⋅ lim s → π 2 ⁡ tan ⁡ s - 1 cos ⁡ s - cos ⁡ s + 2 = 16 3

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 16 3

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Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 x + z 6 x zd yd xd z
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E 2 x d V , onde E = x ,y ,z0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ x ≤ 4 - y 2,0 ≤ z ≤ y }
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E 6 x yd V , onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E yd V , onde E é limitado pelos planos x = 0,y = 0,z = 0 e 2 x + 2 y + z = 4
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E x 2 e yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0,x = 1 e x = - 1