Calcule

m) ∫ ∫ ∫ B e x 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 <= x <= 1 , 0 ≤ y ≤ x e 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B e x 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K e x 2 ⋅ ∫ 0 1 d z ⋅ d x ⋅ d y

Temos que nosso K será dado por 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x . Dessa vez não será necessário aplicar uma transformação no nosso domínio, já que ele não é tão complexo assim. Indo diretamente para a integração, temos que

∫ ∫ K e x 2 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x e x 2 ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 1 e x 2 ⋅ x ⋅ d x

Podemos usar uma substituição para resolver o problema. Se chamarmos u = x 2 , teremos que 1 2 ⋅ d u = x ⋅ d x e assim

1 2 ⋅ ∫ 0 1 e u ⋅ d u = 1 2 ⋅ e 1 - e 0

Resposta

∫ ∫ ∫ B e x 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 1 2 ⋅ e 1 - e 0

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