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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1m

Calcule

m) int int int_B e^(x^2) * d x * d y * d z onde B é o conjunto 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= x e 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B e^(x^2) * d x * d y * d z = int int_K e^(x^2) * [int_0^1 d z] * d x * d y

Temos que nosso K será dado por 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= x . Dessa vez não será necessário aplicar uma transformação no nosso domínio, já que ele não é tão complexo assim. Indo diretamente para a integração, temos que

int int_K e^(x^2) * d x * d y = int_0^1 int_0^x e^(x^2) * d y * d x = int_0^1 e^(x^2) * x * d x

Podemos usar uma substituição para resolver o problema. Se chamarmos u = x^2 , teremos que (1)/(2) * d u = x * d x e assim

(1)/(2) * int_0^1 e^u * d u = (1)/(2) * (e^1 - e^0)

Resposta

int int int_B e^(x^2) * d x * d y * d z = (1)/(2) * (e^1 - e^0)

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)g) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 . ( a0 ,b0ec0 ).
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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)d) x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ z ≤ 1
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)c) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)a) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 5 - x 2 - 3 ⋅ y 2