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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2a

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

a) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 5 - x 2 - 3 ⋅ y 2

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Bom, vamos começar seguindo a sugestão de desenhar o conjunto.

Agora, temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ 0 5 - x 2 - 3 ⋅ y 2 d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 5 - x 2 - 3 ⋅ y 2 ⋅ d x ⋅ d y =

Com nosso K sendo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 . Assim

∫ 0 1 ∫ 0 1 5 - x 2 - 3 ⋅ y 2 ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 1 5 ⋅ y - x 2 ⋅ y - y 3 0 1 ⋅ d x = ∫ 0 1 5 - x 2 - 1 ⋅ d x =

= 4 ⋅ x - x 3 3 0 1 = 4 - 1 3 = 11 3

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 11 3

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