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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2d

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

d) x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ z ≤ 1

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Bom, vamos começar seguindo a sugestão de desenhar o conjunto.

Agora, temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ x 2 + 4 ⋅ y 2 1 d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 1 - x 2 - 4 ⋅ y 2 ⋅ d x ⋅ d y =

Com nosso K sendo x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 . Assim, aplicando uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = 1 2 ⋅ ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 1 - ρ 2 ⋅ 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = 1 2 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π ρ 2 2 - ρ 4 4 0 1 ⋅ d θ = 1 2 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π 1 4 ⋅ d θ = 1 4 ⋅ π

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 1 4 ⋅ π

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