Calcule

n) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ x + y .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K x ⋅ ∫ 0 x + y d z ⋅ d x ⋅ d y

Temos que nosso K será dado por x 2 ≤ y ≤ x . Dessa vez não será necessário aplicar uma transformação no nosso domínio, já que ele não é tão complexo assim. Indo diretamente para a integração, temos que

∫ ∫ K x ⋅ x + y ⋅ d x ⋅ d y = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2 + x ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2 ⋅ d y + ∫ x 2 x x ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 1 x 2 ⋅ y x 2 x + x ⋅ y 2 2 x 2 x ⋅ d x =

= ∫ 0 1 x 2 ⋅ x - x 2 + x ⋅ 1 2 ⋅ x 2 - x 4 ⋅ d x = ∫ 0 1 x 3 - x 4 + 1 2 ⋅ x 3 - x 5 ⋅ d x =

= x 4 4 - x 5 5 + 1 2 ⋅ x 4 4 - x 6 6 0 1 = 1 4 - 1 5 + 1 8 - 1 12 = 11 120

Resposta

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 11 120

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