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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1n

Calcule

n) int int int_B x * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 <= y <= x , 0 <= z <= x + y .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B x * d x * d y * d z = int int_K x * [int_0^(x + y) d z] * d x * d y

Temos que nosso K será dado por x^2 <= y <= x . Dessa vez não será necessário aplicar uma transformação no nosso domínio, já que ele não é tão complexo assim. Indo diretamente para a integração, temos que

int int_K x * (x + y) * d x * d y = int_0^1 int_(x^2)^x (x^2 + x * y) * d y * d x =

= int_0^1 (int_(x^2)^x x^2 * d y + int_(x^2)^x x * y * d y) * d x = int_0^1 (x^2 * (y)_(x^2)^x + x * ((y^2)/(2))_(x^2)^x) * d x =

= int_0^1 (x^2 * (x - x^2) + x * (1)/(2) * (x^2 - x^4)) * d x = int_0^1 ((x^3 - x^4) + (1)/(2) * (x^3 - x^5)) * d x =

= [(x^4)/(4) - (x^5)/(5) + (1)/(2) * ((x^4)/(4) - (x^6)/(6))]_0^1 = (1)/(4) - (1)/(5) + (1)/(8) - (1)/(12) = (11)/(120)

Resposta

int int int_B x * d x * d y * d z = (11)/(120)

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Calcule int_0^2 d x int_0^(sqrt(2 x - x^2)) d y int_0^a z sqrt(x^2 + y^2) d z .
W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e z^2 = x^2 + y^2} .
Calcule a integral tripla: ∭ W y cos ⁡ x + zd x d y d z Onde W é a região limitada pelo cilindro x = y 2 e os planos x + z = π 2 e z = 0 .
Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W x y 2 z 3d x d y d z Onde W é a região no primeiro octante limitada pela superfície z = x y e os planos y = x ,x = 1 e z = 0 .
Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W zd x d y d z Onde W é a região limitada pelas superfícies z = x 2 + y 2 ,y = x 2 ,z = 0ey = 1 .