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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1o

Calcule

o) underset(x -> + oo)(lim) [x - root(3)(x^3 - x)]

Passo 1

Oi, galerinha! Esse limite tem a cara bem feia, né? E ainda por cima quando tentamos substituir x por infinito pra ter uma idéia, encontramos oo - oo , indeterminação das brabas!

Vamos resolver esse limite aplicando L’Hospital, mas para isso precisamos de uma indeterminação do tipo (0)/(0) ou (oo)/(oo) .

Então vamos mexer um pouco nessa função!

Passo 2

Pra sair dessa, a idéia vai ser fazer tipo uma racionalização, lembrando dessa fatoração aqui:

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + a b + b^2)

Mas também podemos escrever assim,

a - b = (a^3 - b^3)/(a^2 + a b + b^2)

Agora vamos fazer, a = x e b = root(3)(x^3 - x) . Assim, temos:

x - root(3)(x^3 - x) = a - b = (a^3 - b^3)/(a^2 + a b + b^2)

Subsituindo a e b , ficamos com,

x - root(3)(x^3 - x) = (x^3 - (root(3)(x^3 - x))^3)/(x^2 + x root(3)(x^3 - x) + (root(3)(x^3 - x))^2)

Desenolvendo,

x - root(3)(x^3 - x) = (x^3 - (x^3 - x))/(x^2 + x root(3)(x^3 - x) + root(3)((x^3 - x)^2))

Por fim, chegamos em:

x - root(3)(x^3 - x) = (x)/(x^2 + x root(3)(x^3 - x) + root(3)((x^3 - x)^2))

Agora vamos aplicar o limite!

Passo 3

Então, podemos reescrever o limite assim:

underset(x -> + oo)(lim) [x - root(3)(x^3 - x)] = underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 + x root(3)(x^3 - x) + root(3)((x^3 - x)^2))

Note que temos uma indeterminação do tipo “ (oo)/(oo) “.

Pra fugir disso, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:

underset(x -> + oo)(lim) [x - root(3)(x^3 - x)] = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(2 x + root(3)(x^3 - x) + x ((x^3 - x)^(- (2)/(3)) (3 x^2 - 1))/(3) + (2 (x^3 - x)^(- (1)/(3)) (3 x^2 - 1))/(3))

Todas essas paradas dependentes de x vão tender ao infinito! Então nosso limite fica:

underset(x -> + oo)(lim) [x - root(3)(x^3 - x)] -> (1)/(oo + oo + oo + oo) -> (1)/(oo) -> 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [x - root(3)(x^3 - x)] = 0

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