Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 1a
Calcule a seguinte integral tripla:
Onde, é a região no primeiro octante limitada pelos planos , , , e o cilindro .
Passo 1
Bom, falou em cilindro não tem nem o que pensar; vamos ter que dar um jeito de aparecer corrdenadas cilíndricas aí.
Mas antes, vamos tentar visualizar o que está acontecendo:
Olhando de cima temos isso aí... lembrando que temos que considerar só a parte de cima do eixo (em vermelho). Isso porque a sólido é limitado também pelo plano .
Tá, vamos fazer a mudança para as coordenadas cilíndricas.
Note que a projeção das duas intersecções no cilindro forma um quarto de uma circunferência no plano :
Pegou a idéia?
Passo 2
Vamos então fazer a mudança das variáveis para as coordenadas cilíndricas:
Como o cilindro está ao longo do eixo , teremos o seguinte:
Bugou um bocado né; acontece que só alteramos os valores ali com fazendo papel de . Nada demais.
Perceba que o quarto da circunferência está no primeiro quadrante do plano, portanto:
E além disso ela é limita por um raio igual a 2:
Agora vamos ver como o ta variando. Partindo de um ponto qualquer do plano e andando no sentido positivo do eixo , primeiro nos deparamos com o plano 2 e em seguida com o plano 1 (de acordo com a primeira imagem la em cima).
Isso significa que:
Mas quem é o mesmo?
Passo 3
Teremos a seguinte integral:
Não esquece de sempre multiplicar o o tio Jaco Biano alí.
Assusta um bocado; mas não é nada demais:
Agora o , podemos abrir em duas integrais:
Melhor maneira é dividirmos em duas:
E aí:
Portanto:
Beleza, agora a outra integral:
E portanto:
Sem segredos, chamando ,
Teremos:
Encontramos:
Então, nossa solução será:
Showdibola! Até a próxima!!
Resposta
Encontramos a seguinte solução para a integral: