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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 2a

Calcule o volume do sólido W descrito abaixo.

  1. W é limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e o parabolóide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala meu consagrado, vamos encontrar o volume desse rolê aqui.

Seguinte, sempre precisamos tentar enxergar quem raios são as superfícies que delimitam o sólido; então tenta desenhar isso daí:

Eu sei que nada nessa matéria é fácil de enxergar, mas você consegue perceber que a intersecção dessas duas superfícies forma uma circunferência??

Essa intersecção é o que chamamos também de projeção no plano x y . Ou seja, ao olhar de cima, os pontos onde as duas superfícies se conectam formam uma circunferência.

Se ainda não estiver claro pra você, vamos tentar ver isso matematicamente; sendo a intersecção das superfícies:

x 2 + y 2 = x 2 + y 2

Sumindo com a raíz:

x 2 + y 2 = x 2 + y 2 2

E então:

x 2 + y 2 = 1

Ou seja, a projeção (intersecção) no plano x y é uma circunferência de raio 1.

Bom, vamos “plotar” essa circunferência para podermos transformar ela em coordenadas cilíndricas. Lembrando que sempre usamos a projeção para fazer essa análise.

Passo 2

Então agora vamos realizar essa mudança de variáveis para as coordenadas cilíndricas. Lembrando que:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ ∂ x , y , z ∂ r , θ , z = r z = z

Esses negocinhos aí tem que estar muito bem guardado na sua cabeça. Vamos usar isso aí praticamente o tempo inteiro.

Tendo relembrado isso, podemos fazer a transformação.

Olha na PROJEÇÃO e perceba que a circunferência pega os 4 quadrantes do plano. Portanto:

0 ≤ θ ≤ 2 π

E note, que a projeção é limitada por um raio tamanho 1; ou seja:

0 ≤ r ≤ 1

Por último, dessa vez olhando para as superfícies (3D); saindo da origem vamos percorrer o eixo z. Percebeu que primeiro entramos na superfície que delimita o parabolóide z = x 2 + y 2 ? E continuando no eixo z encontramos a superfície z = x 2 + y 2   .

Isso significa que:

x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Mas peraí... não podemos trabalhar com x   e y porque queremos coordenadas cilíndricas, certo??

Certíssimo... então é só você lembrar que:

x 2 + y 2 = r 2

Sempre!!

Lembrando disso, chegamos à conclusão de que:

r 2 ≤ z ≤ r

Pronto. Temos os três limites das integrais, basta substituir e integrar.

Passo 3

Então, temos a seguinte integral para o volume desse sólido:

V = ∭ W d x   d y   d z

Mas estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, então:

V = ∭ W r   d z   d r   d θ

Lembre-se sempre de multiplicar o Tio Jaco Biano ali. Não quero nem pensar no que acontece se você esquecer disso...

E então aplicando os limites:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 r r   d z   d r   d θ

É só integrar:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   r - r 2 d r d θ   = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 3 d r   d θ

V = ∫ 0 2 π r 3 3 - r 4 4 r = 1 r = 0 d θ     = ∫ 0 2 π 1 12   d θ

E finalmente:

V = 1 12 2 π - 0 = π 6

Tranquilo, né?!

Resposta

O volume do sólido é V = π 6 .

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