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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1r

Calcule

r) underset(x -> 0^+)(lim) [cos (3 x)]^((1)/(s e n (x)) )

Passo 1

Nosso limite é o seguinte:

underset(x -> 0^+)(lim) [cos (3 x)]^((1)/(s e n (x)) )

Quando temos uma expressão do tipo a (x)^(b (x)) e ideia vai ser essa aqui ó:

E = [cos (3 x)]^((1)/(s e n (x)) ) = e^(ln [cos 3 x]^((1)/(sen x)))

Como ln ( a^b ) = b ln (a) :

E = e^((1)/(sen x) ln [cos 3 x]) ( i )

Passo 2

Agora vamos analisar como fica o nosso limite!

Antes tínhamos o seguinte:

underset(x -> 0^+)(lim) [cos (3 x)]^((1)/(s e n (x)) )

Usando a expressão ( i ) , vemos que o limite também pode ser escrito da seguinte forma:

underset(x -> 0^+)(lim) e^((1)/(sen x) ln [cos 3 x])

Portanto,

e^(underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sen x) ln [cos 3 x])

Então basta resolvermos:

L = underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sen x) ln [cos 3 x]

Quando x -> 0 , temos o seguinte:

L = underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sen x) ln [cos 3 x] = (1)/(0) xx ln 1 = (0)/(0)

Opa, deu uma indeterminação. Então vamos usar a regra de L’hospital:

underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sen x) ln [cos 3 x] = underset(x -> 0^+)(l i m) (1)/(cos (x)) xx (1)/(c o s ( 3 x )) xx (s e n (3 x) xx 3)

Obs: não esquece da regra da cadeia!

Agora vamos ver como fica nosso limite.

L = underset(x -> 0^+)(l i m) (3 s e n (3 x))/(cos (x) cos (3 x))

Analisando quando x -> 0 :

L = (3 xx s e n ( 3 xx 0 ))/(cos (0) c o s ( 3 xx 0 )) = (3 xx 0)/(1 xx 1) = 0

Agora é só jogar isso no limite lá do começo:

e^(underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sen x) ln [cos 3 x])

Assim,

e^(underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sen x) ln [cos 3 x]) = e^0

Portanto,

underset(x -> 0^+)(lim) [cos 3 x]^((1)/(sen x)) = 1

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) [cos 3 x]^((1)/(sen x)) = 1

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