Enunciado

Uma câmera está posicionada a x pés da base de uma rampa de lançamento de mísseis (ver figura a seguir). Se o míssil de comprimento a pés for lançado verticalmente, mostre que quando a base do míssil estiver b pés acima das lentes da câmera, o ângulo θ subentendido nas lentes pelo míssil é:x

θ = arc cot g ⁡ x a + b - arc cot g ⁡ x b

Passo 1

Eita, questão assustadora! Mas calma, vamos lá! Vai dar tudo certo. Pra começar, vou dar mais nomes aos bois. Temos um ângulo, mas que tal estabelecer mais dois?

De forma que:

θ = α - β

Ok mas pra que isso? Bem, olhando pro triângulo maior, trabalhamos somente com o ângulo α e olhando pro triângulo menor, só com o β . E achando o valor desses ângulos, achamos θ !

Passo 2

Então bora lá! Olhando pro triângulo maior, vemos que ele fica assim:

Se conhecemos altura, base e ângulo, temos o suficiente pra achar a tangente!

tg ⁡ α = a + b x

Invertendo a função, temos:

1 tg ⁡ α = x a + b

cotg ⁡ α = x a + b

E logo, fazendo a inversa trigonométrica, encontramos:

α = arc cot g ⁡ x a + b

Agora, pro triângulo menor, temos:

Novamente, temos o suficiente pra achar a tangente!

tg ⁡ β = b x

Invertendo a função, temos:

1 tg ⁡ β = x b

cotg ⁡ β = x b

E logo, fazendo a inversa trigonométrica, encontramos:

β = arc cotg ⁡ x b

Fechamos então galera, como sabemos α e β , e pela relação do passo 1 :

θ = α - β

Temos, de fato, provado que:

θ = arc cotg ⁡ x a + b - arc cotg ⁡ x b

Resposta

Provado ao longo da questão

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Encontre o valor exato da quantidade dada: sen ⁡ 2 arccos ⁡ 3 5
Dado que θ = arctg ⁡ 4 3 , encontre os valores exatos de sen ⁡ θ , cos ⁡ θ , cotg ⁡ θ , sec ⁡ θ e cossec ⁡ θ .
Encontre o valor exato da quantidade dada: sec ⁡ arcsen ⁡ - 3 4
Complete as identidades usando o método do triângulo (Figura 0.4 . 15 ) sen ⁡ arccos ⁡ x =? tg ⁡ arccos ⁡ x =? cossec ⁡ arctg ⁡ x =? sen ⁡ arctg ⁡ x =?
Com quais valores de x é verdade que: arccos ⁡ cos ⁡ x = x cos ⁡ arccos ⁡ x = x arctg ⁡ tg ⁡ x = x tg ⁡ arctg ⁡ x = x