Nos peixes, o peso B do cérebro como uma função do peso corporal W foi modelado pela função potência B = 0,007   W 2 3 , onde B e W são medidos em gramas. Um modelo para o peso corporal como uma função do comprimento corporal L (medido em centímetros) é W = 0,12 L 2,53 . Se, em 10 milhões de anos, o comprimento médio de uma certa espécie de peixes evoluiu de 15   c m para 20   c m a uma taxa constante, quão rápido estava crescendo o cérebro dessa espécie quando o comprimento era de 18   c m ?

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos lá! 😬

Nesse problema temos que determinar a taxa de crescimento do cérebro dos peixes quando o comprimento era de 18 c m sendo que em 10 milhões de anos o comprimento passou de 15 c m para 20 c m .

A expressão para a potência e a função do comprimento corporal dadas são

B = 0,007   W 2 3       ( 1 )

e

W = 0,12 L 2,53 ,         ( 2 )

respectivamente.

Podemos relacionar a potência ( B ) com o comprimento corporal ( L )   substituindo ( 2 ) em (1).

B = 0,007 0,12 L 2,53 2 3       ( 3 ) .

B = 0,007 · 0,12 2 3 · L 5,06 3

Saca só! 😉

Passo 2

Como o comprimento médio evoluiu de 15 para 20 centímetros em 10 milhões de anos, podemos escrever a taxa de evolução do comprimento ( c m ) no tempo ( m i l h ã o   d e   a n o s ) como

d L t d t = 20 - 15 10 = 1 2     c m m i l h ã o   d e   a n o s .

Já que queremos ver o quão rápido o cérebro da espécie cresce no tempo, precisamos verificar a taxa de crescimento.

Então, precisamos derivar B em relação ao tempo, mas como faremos isso se não vimos a dependência de t em nenhuma expressão?

E agora? 👀

Passo 3

Se observarmos a equação ( 3 ) , poderemos ver que ela só depende de L . Mas nós já conhecemos como L varia com o tempo.

Então podemos fazer a derivada

d B d t = d B d L d L d t

Onde

d B d L = d 0,007 · 0,12 2 3 · L 5,06 3 d L

d B d L = 0,007 · 0,12 2 3 · 5,06 3 · L 2,06 3 ≈ 0,00 287 · L 2,06 3

Portanto

d B d t ≈ 0,00 287 · L 2,06 3 · 1 2

Por fim podemos lembrar que ele quer a taxa de crescimento quando L = 18   c m . Sendo assim, só precisamos substituir L , na expressão

d B d t = 0,00 287 · 18 2,06 3 · 1 2

d B d t = 0,0 1045134   g r a m a s m i l h ã o   d e   a n o s .

Pronto, acabamos! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

0,01045134   g r a m a s m i l h ã o   d e   a n o s

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