Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 40
Nos peixes, o peso do cérebro como uma função do peso corporal foi modelado pela função potência , onde e são medidos em gramas. Um modelo para o peso corporal como uma função do comprimento corporal (medido em centímetros) é . Se, em 10 milhões de anos, o comprimento médio de uma certa espécie de peixes evoluiu de para a uma taxa constante, quão rápido estava crescendo o cérebro dessa espécie quando o comprimento era de ?
Passo 1
E aí, galerinha! Vamos lá! 😬
Nesse problema temos que determinar a taxa de crescimento do cérebro dos peixes quando o comprimento era de sendo que em milhões de anos o comprimento passou de para .
A expressão para a potência e a função do comprimento corporal dadas são
e
respectivamente.
Podemos relacionar a potência com o comprimento corporal substituindo em (1).
Saca só! 😉
Passo 2
Como o comprimento médio evoluiu de para centímetros em 10 milhões de anos, podemos escrever a taxa de evolução do comprimento () no tempo como
Já que queremos ver o quão rápido o cérebro da espécie cresce no tempo, precisamos verificar a taxa de crescimento.
Então, precisamos derivar em relação ao tempo, mas como faremos isso se não vimos a dependência de em nenhuma expressão?
E agora? 👀
Passo 3
Se observarmos a equação , poderemos ver que ela só depende de . Mas nós já conhecemos como varia com o tempo.
Então podemos fazer a derivada
Onde
Portanto
Por fim podemos lembrar que ele quer a taxa de crescimento quando . Sendo assim, só precisamos substituir , na expressão
Pronto, acabamos! O que achou? Responde Aí! 😉
