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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 2a

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

O gradiente de uma função de duas variáveis f x , y é definido como

∇ f x , y = f x x , y , f y x , y

Analogamente para uma função de três variáveis f x , y , z

∇ f x , y , z = f x x , y , z , f y x , y , z , f z x , y , z

Calculando as derivadas

f x x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2

f y x , y , z = y x 2 + y 2 + z 2

f z x , y , z = z x 2 + y 2 + z 2

E o gradiente é dado por

∇ f x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 , y x 2 + y 2 + z 2 , z x 2 + y 2 + z 2

∇ f x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x , y , z

Resposta

∇ f x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x , y , z

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14.48. Se g x , y = x - y 2 , determine o vetor gradiente ∇ g 3 , - 1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função g x , y = 2 no ponto 3 , - 1 . Esboce as curvas de nível, reta
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções : f u , v , w = u v w + u 2 - v 2 - w 2
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções : f x , y , z = x y z 2 + s e n x
Encontrar a equação da reta perpendicular a curva y= 1 x , nos pontos P 0 1,1eP 1 2 , 1 2 .
Determinar o plano que contém os pontos ( 1,1 , 0 )e( 2,1 , 4 ) que seja tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2