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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 3

Considere um fluido em escoamento com velocidade v → x , y , z = y   j → , y > 0 .

  1. O fluido é incompressível? Por quê?
  2. Determine ρ , que só dependa de y , que satisfaça a equação de continuidade.
  3. Suponha que a densidade ρ do fluido só dependa de y   e   t . Mostre que ρ deve satisfazer a equação

∂ ρ ∂ t + y ∂ ρ ∂ y = - ρ

Passo 1

  1. Bom, o fluido vai ser incompressível se o divergente for igual a zero. Vamos calcular o divergente então...

    2. d i v   v → = 1

    Como não deu zero, nosso fluido está se expandindo (divergente positivo), logo não é incompressível.

    Passo 2

  2. Temos que d i v   ρ v → = 0 . Substituindo agora o valor de v → , temos:

    3. d i v   ρ y y   j → = 0

    Daí, d d y p y y = 0 .

    Nesse caso podemos dizer que ρ y y = k   ( c o n s t a n t e ) .

    Daí, ρ y = k y .

    Passo 3

  3. Sejam ρ = ρ y , t a densidade do fluido e v → x , y , z = y j → a velocidade do fluido.

Temos que:

d i v   ρ v → = d i v   ρ y j → = ∂ ∂ y ρ y = y ∂ ρ ∂ y + ρ

Substituindo na equação da continuidade a gente fica com:

y ∂ ρ ∂ y + ρ + ∂ ρ ∂ t = 0

Ou seja:

y ∂ ρ ∂ y + ∂ ρ ∂ t = - ρ

Prontinho! Chegamos ao que pediram😉

Resposta

  1. Não. d i v   v → ≠ 0 .
  2. ρ y = k y
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Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
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