Se F é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que ∫ C F ⋅ d r = 0 para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde.

F x , y = - y   i + x   j x 2 + y 2

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

A questão quer que a gente mostre que:

∫ C F ⋅ d r = 0

Para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde no campo vetorial do exemplo 5:

F x , y = - y   i + x   j x 2 + y 2

Para isso vamos usar o teorema de Green:

∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Precisamos derivar as componentes Q e P da função campo vetorial e aplicamos na integral dupla acima!

Vem comigo!

Passo 2

Como C é um caminho fechado e fora da origem P e Q possuem derivadas parciais continuas vamos aplicar o Teorema de Green

∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Derivando Q = x   x 2 + y 2 , em relação a x , tratando y como constante:

∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 - x ( 2 x )   x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2   x 2 + y 2 2

Derivando P = - y x 2 + y 2 , em relação a y , tratando x como constante:

∂ P ∂ y = - x 2 + y 2 + y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2   x 2 + y 2 2

Mas note que as duas derivadas são iguais! Então quando substituímos na integral dupla, temos:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A = ∬ D y 2 - x 2   x 2 + y 2 2 - y 2 - x 2   x 2 + y 2 2   d A

Ficamos com:

∬ D 0   d A = 0

Resposta

Demonstração.

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