Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 29
Se é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo certo?
A questão quer que a gente mostre que:
Para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde no campo vetorial do exemplo 5:
Para isso vamos usar o teorema de Green:
Precisamos derivar as componentes e da função campo vetorial e aplicamos na integral dupla acima!
Vem comigo!
Passo 2
Como é um caminho fechado e fora da origem e possuem derivadas parciais continuas vamos aplicar o Teorema de Green
Derivando , em relação a , tratando como constante:
Derivando , em relação a , tratando como constante:
Mas note que as duas derivadas são iguais! Então quando substituímos na integral dupla, temos:
Ficamos com:
Resposta
Demonstração.