Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 2- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 10
(Capítulo 14.7 – Exercício 10) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos determinar os valores de máximos e mínimos locais.
Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à e e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.
Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , n��o é nem máximo e nem mínimo local.
Passo 2
Nossa função é essa aqui:
Realizando a distributiva:
Fazendo as derivadas parciais de primeira ordem, vamos ter:
Passo 3
Temos que lembrar que para encontrar os pontos críticos, precisamos fazer o seguinte:
e
Substituindo as equações:
Separando em duas equações, vamos ter na primeira:
Isolando o , vamos ficar com:
Agora vamos substituir esse valor de na segunda equação, ok? Teremos:
Realizando o produto notável:
Agora a gente faz as distributivas:
Reorganizando ficamos com:
Simplificando todo mundo:
E se a gente multiplicar por , nossa equação vai ficar mais arrumadinha assim olha:
Agora podemos encontrar o valor de resolvendo a equação de segundo grau, vamos lá!
Realizando os cálculos dentro da raiz:
Temos então nossas raízes:
Então nossos dois valores para são e
Passo 4
Que beleza! Agora vamos achar o valor de correspondente para cada , beleza?
Sendo:
Substituindo os valores dos que encontramos:
Assim, os nossos pontos críticos são:
Show! Primeira parte ok!
Passo 5
Agora precisamos fazer o teste da segunda derivada…Para isso vamos achar as segundas derivadas:
Derivando novamente :
Derivando novamente :
Agora derivando em relação a :
Agora podemos encontrar o determinante hessiano, ele será dado por:
Realizando esses produtos:
Estamos quase lá!
Passo 6
Vamos então substituir os pontos críticos que achamos… Primeiro para :
Acabamos de encontrar o ponto de sela!
Já para o ponto , vamos ter:
Realizando os produtos:
Temos então que:
E temos que:
Além disso,
Encontramos um máximo local!
Arrasamos!
Resposta
é o ponto de sela.
é o ponto máximo local.