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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 14

Case as equações com os gráficos identificados por I - V I e dê razões para sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

x = u 3 ,         y = u sen ⁡ v ,             z = u cos ⁡ v

Passo 1

E aiiiiiiii galera, tudo beleza com vocês!?

Nessa questão temos que analisar a parametrização abaixo, e identificar qual dos gráficos de I - V I que ela representa. Não esquecendo de justificar a sua escolha.

Temos que a parametrização é:

x = u 3 , y = u sen ⁡ v , z = u cos ⁡ v

Para resolver essa questão, devemos analisar a parametrização dada.

Repare que temos:

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u cos ⁡ v

Qual a ideia agora? Você deve associar essa parametrização com a de um círculo em coordenadas polares.

Repare que no plano y z , temos uma parametrização típica de um círculo.

Agora eu quero que você faça essa comparação. Aí você vai compreender que temos um círculo de raio u no plano y z , e como x pode assumir qualquer valor de u , vamos gerar algo parecido com um paraboloide no plano x y z .

Com esses bizu, vamos fazer essas associações!!

Vamos nessa!

Passo 2

Lembra que a parametrização de um círculo no plano y z , ou podemos falar, sua representação em coordenadas polares é:

y 2 + z 2 = r 2

E sua parametrização:

y = r   s e n   θ

z = r cos ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

Comparando com a parametrização dada:

x = u 3 ,             y = u sen ⁡ v ,                 z = u cos ⁡ v

Temos que:

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u cos ⁡ v

Assim, repare que conseguimos concluir que:

r = u

v = θ

Logo,

0 ≤ v ≤ 2 π

Passo 3

Fica claro, que realmente temos um círculo no plano y z .

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u cos ⁡ v

Substituindo na equação do círculo, conseguimos provar que o raio é u:

y 2 + z 2 = u 2 s e n   v 2 + u 2 cos ⁡ v 2 = u 2

Então, se u   for mantido constante, cada grade curva é um círculo de raio u no plano x = u 3 . O gráfico que melhor descreve esse comportamento é o gráfico I I I . Desse jeito:

Resposta

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Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r → x , θ = x , cos ⁡ θ ,s e nθ
Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por I - V I e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante. r u ,
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r x , θ = x , x cos ⁡ θ , x sen ⁡ θ
Considere a transformação σ (θ, ρ, φ) = (x, y, z) onde x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ e z = ρ cos φ.Desenhe σ (B) onde B é o conjunto ρ = ρ 1 ( ρ 10 constante), 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.Desenhe σ
(Coordenadas esféricas) Seja P = ( x , y , z ) e considere a terna ( θ ,ρ ,φ ) onde θ é o ângulo entre o semieixo positivo O x e o vetor O P 1 → = ( x , y , 0 ) , ρ o comprimento do vetor O P → e φ o