Case as equações com os gráficos identificados por I - V I e dê razões para sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

x = u^3 , y = u * sen(v) , z = u * cos(v)

Passo 1

E aiiiiiiii galera, tudo beleza com vocês!?

Nessa questão temos que analisar a parametrização abaixo, e identificar qual dos gráficos de I - V I que ela representa. Não esquecendo de justificar a sua escolha.

Temos que a parametrização é:

x = u 3 , y = u sen ⁡ v , z = u cos ⁡ v

Para resolver essa questão, devemos analisar a parametrização dada.

Repare que temos:

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u cos ⁡ v

Qual a ideia agora? Você deve associar essa parametrização com a de um círculo em coordenadas polares.

Repare que no plano y z , temos uma parametrização típica de um círculo.

Agora eu quero que você faça essa comparação. Aí você vai compreender que temos um círculo de raio u no plano y z , e como x pode assumir qualquer valor de u , vamos gerar algo parecido com um paraboloide no plano x y z .

Com esses bizu, vamos fazer essas associações!!

Vamos nessa!

Passo 2

Lembra que a parametrização de um círculo no plano y z , ou podemos falar, sua representação em coordenadas polares é:

y 2 + z 2 = r 2

E sua parametrização:

y = r   s e n   θ

z = r cos ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

Comparando com a parametrização dada:

x = u 3 ,             y = u sen ⁡ v ,                 z = u cos ⁡ v

Temos que:

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u cos ⁡ v

Assim, repare que conseguimos concluir que:

r = u

v = θ

Logo,

0 ≤ v ≤ 2 π

Passo 3

Fica claro, que realmente temos um círculo no plano y z .

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u cos ⁡ v

Substituindo na equação do círculo, conseguimos provar que o raio é u:

y 2 + z 2 = u 2 s e n   v 2 + u 2 cos ⁡ v 2 = u 2

Então, se u   for mantido constante, cada grade curva é um círculo de raio u no plano x = u 3 . O gráfico que melhor descreve esse comportamento é o gráfico I I I . Desse jeito:

Resposta

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