(Coordenadas esféricas) Seja P = (x, y, z) e considere a terna (theta, rho, phi) onde theta é o ângulo entre o semieixo positivo Ox e o vetor OP1 = (x, y, 0) , rho o comprimento do vetor OP→ e phi o ângulo entre o semieixo positivo Oz e o vetor OP.

Os números θ, ρ e φ são as coordenadas esféricas do ponto P. Verifique que as coordenadas esféricas (theta, rho, phi) relacionam-se com as cartesianas do seguinte modo:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n   ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Passo 1

Vamos nos apoiar nessa figura, chamando de r o segmento que liga a origem até o ponto P 1 .

A partir daí, a gente tem o seguinte:

r = ρ cos ⁡ π 2 - ϕ = ρ s e n   ϕ

Sendo que:

x =   r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Substituindo agora o r nas expressões de x   e   y a gente encontra:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Prontinho! Está verificado😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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