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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 10

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ x n n 3 n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 3 n + 1 x n n 3 n = lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x n + 1 3 n ∙ 3 ∙ n ∙ 3 n x n = x 3 ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = x 3

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x 3 < 1 , ou seja, x < 3 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 3 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo ( - 3,3 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 3 e x = 3 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 3 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . Pelo teste da série alternada:

1 n + 1 < 1 n

E:

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Então a série é convergente.

Já para x = 3 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ 1 n , uma série harmônica, e, portanto, divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = [ - 3,3 ) .

Resposta

R = 3   e   I = [ - 3,3 )

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