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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 69

Centroide Encontre o centroide do sólido no Exercício 38.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício precisaremos voltar ao problema 38 desta seção, pois iremos encontrar o centroide do sólido apresentado. Já sabemos os conceitos e as fórmulas para calcular centro de massa em coordenadas cartesianas, vamos aplicar este conhecimento em coordenadas esféricas.

Sabemos também que para calcular o centro de massa precisaremos da massa dos momentos em relação aos planos coordenados.

Sabemos que o sólido é limitado inferiormente pelo plano x y , na lateral pela esfera de raio ρ = 2 e acima por um cone com ϕ = π 3 .Agora vamos aos cálculos!

Passo 2

Nosso primeiro passo é definir os limitantes da integral.O intervalo de ? é definido por:

π 3 ≤ ϕ ≤ π 2

Para ρ , o intervalo é definido pelo raio, então:

0 ≤ ρ ≤ 2

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Qual o próximo passo? Calcular a massa do sólido com densidade igual a 1 em coordenadas esféricas:

M   = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     ∫ 0 2     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = 8 3 ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = 8 3 ∫ 0 2 π     ( - c o s ⁡ ϕ ) π / 3 π / 2 d θ   = 8 6 ∫ 0 2 π     d θ   = 8 π 3

Passo 4

O primeiro momento em relação aos planos coordenados é:

M x y   = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     ∫ 0 2     z ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     ∫ 0 2     ρ 3 c o s ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     c o s ⁡ ϕ s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = 4 ∫ 0 2 π     s e n 2 ⁡ ϕ 2 π / 3 π / 2 d θ   = 4 ∫ 0 2 π     1 2 - 3 8 d θ   = 1 2 ∫ 0 2 π     d θ   = π

O centroide do sólido ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) está sobre o eixo de simetria, isso faz com que x ‾ = y ‾ = 0 .Para z ‾ , dividiremos o primeiro momento M x y pela massa. Então:

z ‾   = M x y M   = ( π ) 3 8 π   = 3 8

Resposta

Portanto, nossa conclusão neste exercício, é um centro de massa 0,0 , 3 8 .

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