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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 35

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ .

E é o sólido do Exercício 11; ρ x , y , z = 2

Passo 1

E aí, turma! Tudo legal?

Nesse exercício, iremos analisar o sólido E do exercício 11, que é:

“ ∫ ∫ ∫ E 6 x y   d V , onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1 ”

com função densidade

ρ x , y , z = 2

A questão pede para encontrarmos o centro de massa desse sólido E . O centro de massa está localizando no ponto ( x , - y , - z - ) , onde:

x - = M y z m

y - = M x z m

z - = M x y m

Onde m é a massa do sólido dada por:

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

E M são os momentos em relação aos planos, que são calculados por:

M y z = ∭ E x   ρ x , y , z d V

M x z = ∭ E y   ρ x , y , z d V

M x y = ∭ E z ρ x , y , z d V

Percebe que também falta acharmos os limites de integração das nossas integrais triplas. Como a função que estamos integrando está em relação a 3 variáveis x , y , z , temos que achar os limites de integração para cada uma delas. Para achar esses limites vamos achar a projeção do nosso sólido no plano x y e da equação da superfície do sólido.

Em resumo, precisaremos achar a massa m e cada um dos momentos M , para assim acharmos a localização do centro de massa.

Bora lá?

Passo 2

No exercício 11 foi dado que E está abaixo do plano

z = 1 + x + y

e acima da região do plano x y limitada pelas curvas

y = x , y = 0 e x = 1

Então podemos colocar a variação de z como

0 ≤ z ≤ 1 + x + y

Já que estamos acima do plano x y , então só temos valores de z maiores que zero.

Agora vamos analisar nosso plano x y para acharmos nossos limites para x e y . No plano x y temos:

y = x

x = 1

y = 0

Curvas y = x , y = 0 e x = 1

As variações podem ser colocadas como:

y 2 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Vamos começar calculando nossa massa m . A massa é dada por

m = ∭ E ρ   d V

Então, montando nossa integral:

m = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2   d z d x d y

O segredo é arranjar as integrais que têm limites de integração que dependem de variáveis “para dentro”, para facilitar os cálculos. Tirando o constante para fora, integrando em z e aplicando os limites de integração, temos:

= 2 ∫ 0 1 ∫ y 2 1 1 + x + y   d x d y =

Integrando agora em x e aplicando os limites de integração. Aqui tratamos as demais variáveis como constantes:

2 ∫ 0 1 x + x 2 2 + x y y 2 1   d y

Aplicando os limites:

= 2 ∫ 0 1 1 + 1 2 + y - y 2 + y 4 2 + y 3   d y =

Realizando as operações dentro dos colchetes:

2 ∫ 0 1 3 2 + y - y 2 - y 3 - y 4 2   d y

Agora fazemos a integral que nos resta em relação a y :

= 2 3 2 y + y 2 2 - y 3 3 - y 4 4 - y 5 10 0 1 =

Aplicando os limites de integração:

2 3 2 + 1 2 - 1 3 - 1 4 - 1 10

= 2 2 - 1 3 - 1 4 - 1 10 = 2 120 - 20 - 15 - 6 60

Então nossa massa é:

m = 79 30

Passo 4

O centro de massa é dado por ( x - , y - , z - ) onde

x - = M y z m                     y - = M x z m                     z - = M x y m

Calculando os momentos, primeiro no plano y z

M y z = ∭ E x   ρ   d V = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2 x   d z d x d y

Integrando em relação a z e aplicando os limites de integração:

= 2 ∫ 0 1 ∫ y 2 1 1 + x + y x   d x d y = 2 ∫ 0 1 ∫ y 2 1 x + x 2 + x y   d x d y

Interando agora em relação a x , tratamos as demais variáveis como constantes:

= 2 ∫ 0 1 x 2 2 + x 3 3 + x 2 y 2 y 2 1 d y =

Aplicando os limites de integração:

2 ∫ 0 1 1 2 + 1 3 + y 2 - y 4 2 + y 6 3 + y 5 2 d y

Agora fazendo a integral que resta:

= 2 ∫ 0 1 5 6 + y 2 - y 4 2 - y 5 2 - y 6 3 d y = 2 5 6 y + y 2 4 - y 5 10 - y 6 12 - y 7 21 0 1

Aplicando os limites de integração:

= 2 5 6 + 1 4 - 1 10 - 1 12 - 1 21 = 2 350 + 105 - 42 - 35 - 20 420

= 358 210 = 179 105

Nosso momento em y x é:

M y z = 179 105

Passo 5

No plano x z

M x z = ∭ E y   ρ   d V = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2 y   d z d x d y

Calculando em relação a z e já aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 ∫ y 2 1 2 y 1 + x + y   d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 2 y + 2 y x + 2 y 2   d x d y

Integrando em relação a x e tratando as demais variáveis como constante:

∫ 0 1 2 x y + x 2 y + 2 x y 2 y 2 1 d y =

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 2 y + y + 2 y 2 - 2 y 3 + y 5 + 2 y 4 d y

Resolvendo a integral que nos resta:

= ∫ 0 1 3 y + 2 y 2 - 2 y 3 - 2 y 4 - y 5 d y

Aplicando os limites de integração:

= 3 y 2 2 + 2 y 3 3 - y 4 2 - 2 y 5 5 - y 6 6 0 1

Temos:

= 3 2 + 2 3 - 1 2 - 1 5 - 1 6 = 1 + 2 3 - 2 5 - 1 6

= 30 + 20 - 12 - 5 30 = 33 30

M x z = 11 10

Passo 6

E no plano x y

M x y = ∭ E z   ρ   d V = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2 z   d z d x d y

Integrando em relação a z :

= ∫ 0 1 ∫ y 2 1 z 2 0 1 + x + y d x d y

Aplicando os limites de integração

= ∫ 0 1 ∫ y 2 1 1 + x + y 2   d x d y

Calculando a integral de x , tratando as outras variáveis como constante:

= ∫ 0 1 1 + x + y 3 3 y 2 1 d y

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 2 + y 3 3 - 1 + y 2 + y 3 3   d y

Fatorando o termo 1 + y 2 + y 3 :

∫ 0 1 2 + y 3 3 - 1 + 3 y + 6 y 2 + 7 y 3 + 6 y 4 + 3 y 5 + y 6 3   d y

Aplicando os limites de integração:

= 2 + y 4 12 - y 3 - y 2 2 - 2 y 3 3 - 7 y 4 12 - 2 y 5 5 - y 6 6 - y 7 21 0 1

= 3 4 12 - 1 3 - 1 2 - 2 3 - 7 12 - 2 5 - 1 6 - 1 21 - 2 4 12 = 74 12 - 1 - 1 2 - 2 5 - 1 6 - 1 21 - 16 12

= 37 6 - 1 - 1 2 - 2 5 - 1 6 - 1 21 - 4 3 = 6 - 1 - 1 2 - 2 5 - 1 21 - 4 3

= 1050 - 105 - 84 - 10 - 280 210 = 571 210

Passo 7

Calculando as coordenadas do centro de massa e o valor da nossa massa:

x - = M y z m

Substituindo o que achamos nos passos anteriores:

M y z m = 179 105 79 30

Simplificando:

= 179 ⋅ 30 105 ⋅ 79 = 179 ⋅ 2 7 ⋅ 79

Então, teremos:

x - = 358 553

Fazendo o mesmo processo para   y - :

y - = M x z m

M x z m = 11 10 79 30 = 33 79

E para   z - :

z - = M x y m

M x y m = 571 210 79 30

Simplificando:

= 571 ⋅ 30 210 ⋅ 79 = 571 553

Então, temos, finalmente:

x - , y - , z - = 358 553 , 33 79 , 571 553

Resposta

m = 79 30

x - , y - , z - = 358 553 , 33 79 , 571 553

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Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a ; ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,y = 0 ,z = 0 ,x + y + z = 1 ρ x , y , z = y
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é limitado pelo cilindro parabolóico z = 1 - y 2 e pelos planos x + z = 1 , x = 0 e z = 0 ; ρ x , y , z = 4
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z .
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a( a0 ) , se S tem densidade constante K .