Paraboloide e cilindro Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo paraboloide z = 9 – x2 – y2, inferiormente pelo plano xy e fora do cilindro x2 + y2 = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que volumes de regiões D definidas podem ser encontrados pelo cálculo da integral tripla definidas pelas superficies delimitantes.Nesta questão vamos encontrar o volume de uma região limitada na parte superior por um paraboloide de equação z = 9 - x 2 - y 2 e na parte inferior pelo plano x y que está fora do cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

A primeira integração é feita em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Passo 3

Vamos definir os limitantes, sabendo que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.O paraboloide intercepta o plano x y quando z = 0 , então:

9 - x 2 - y 2 = 0

Logo

x 2 + y 2 = 9

Definimos pela interseção que o intervalo de r é dado por:

1 ≤ r ≤ 3

Para z teremos:

z = 9 - x 2 - y 2 z = 9 - r 2

Dessa maneira:

0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo para o primeiro quadrante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Assim, podemos escrever a integral tripla que representa o volume desejado da região:

V   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 1 3     ∫ 0 9 - r 2     d z r d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 1 3     9 r - r 3 d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     9 r 2 2 - r 4 4 1 3 d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     81 4 - 17 4 d θ   = 64 ∫ 0 π / 2     d θ   = 32 π

Resposta

Dessa maneira, o volume desejado neste exercício, é 32 π unidades de volume.

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