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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 60

Paraboloide e cilindro Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo paraboloide z = 9 – x2 – y2, inferiormente pelo plano xy e fora do cilindro x2 + y2 = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que volumes de regiões D definidas podem ser encontrados pelo cálculo da integral tripla definidas pelas superficies delimitantes.Nesta questão vamos encontrar o volume de uma região limitada na parte superior por um paraboloide de equação z = 9 - x 2 - y 2 e na parte inferior pelo plano x y que está fora do cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

A primeira integração é feita em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Passo 3

Vamos definir os limitantes, sabendo que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.O paraboloide intercepta o plano x y quando z = 0 , então:

9 - x 2 - y 2 = 0

Logo

x 2 + y 2 = 9

Definimos pela interseção que o intervalo de r é dado por:

1 ≤ r ≤ 3

Para z teremos:

z = 9 - x 2 - y 2 z = 9 - r 2

Dessa maneira:

0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo para o primeiro quadrante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Assim, podemos escrever a integral tripla que representa o volume desejado da região:

V   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 1 3     ∫ 0 9 - r 2     d z r d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 1 3     9 r - r 3 d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     9 r 2 2 - r 4 4 1 3 d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     81 4 - 17 4 d θ   = 64 ∫ 0 π / 2     d θ   = 32 π

Resposta

Dessa maneira, o volume desejado neste exercício, é 32 π unidades de volume.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular as seguintes integrais:int_0^2 int_0^(sqrt(4 - x^2)) int_0^(4 - x^2 - y^2) x^2 d z . d y . d x
∭_W^() z d x d y d z , o n d e W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z = 0 , x^2 + y^2 = (1)/(4)} .
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a( a0 ) , se S tem densidade constante K .
Utilize coordenadas cilíndricas.Ache o volume da região E limitada pelo paraboloide z = 24 - x 2 - y 2 e o cone z = 2 x 2 + y 2 .Encontre o centroide do E (centro de massa no caso em que a densidade é