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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 54

Cilindro e paraboloides Encontre o volume da região delimitada inferiormente pelo paraboloide z = x2 + y2, lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 1 e superiormente pelo paraboloide

z = x2 + y2 + 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos calcular o volume de uma região delimitada da seguinte forma: inferiormente por um paraboloide com equação z = x 2 + y 2 , lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima pelo paraboloide de equação z = x 2 + y 2 + 1 .

Passo 2

Como já sabemos o volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

Precisamos primeiro integrar em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Passo 3

Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Agora podemos definir os limitantes, sabendo que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.Definiremos os limitantes das integrais de maneira que:

0 ≤ r ≤ 1

Como z = x 2 + y 2 e z = x 2 + y 2 + 1 , em z teremos:

r 2 ≤ z ≤ r 2 + 1

Por fim, teremos 0 ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Então podemos escrever a integral do volume:

V   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ∫ r 2 r 2 + 1     d z r d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     r d r d θ   = 2 ∫ 0 π / 2     d θ   = π

Resposta

Concluímos que a resposta correta desta atividade é um volume de π unidades.

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