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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 70

Centroide Encontre o centroide do sólido delimitado superiormente pela esfera r = a e inferiormente pelo cone f = p/4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos os conceitos e as fórmulas para calcular centro de massa em coordenadas cartesianas, vamos aplicar este conhecimento em coordenadas esféricas.Também conhecemos que para calcular o centro de massa precisaremos da massa e dos momentos em relação aos planos coordenados.Sabemos que o sólido é limitado inferiormente acima pela esfera ρ = a . O limite inferior é o cone com ϕ = π 4 .

Passo 2

Nosso primeiro passo é definir os limitantes da integral.O intervalo de ? é definido pelo cone:

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Para ρ , o intervalo é definido pelo raio, então:

0 ≤ ρ ≤ a

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Qual o próximo passo? Calcular a massa do sólido com densidade igual a 1 em coordenadas esféricas:

M   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 4     ∫ 0 a     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = a 3 3 ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 4     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ   = a 3 3 ∫ 0 2 π     2 - 2 2 d θ   = π a 3 ( 2 - 2 ) 3

O primeiro momento em relação aos planos coordenados é:

M x y   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 4     ∫ 0 a     ρ 3 s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ   = a 4 4 ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 4     s e n ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ d ϕ d θ   = a 4 16 ∫ 0 2 π     d θ   = π a 4 8

Passo 4

O centroide do sólido ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) está sobre o eixo de simetria, isso faz com que x ‾ = y ‾ = 0 .Para z ‾ , dividiremos o primeiro momento M x y pela massa. Logo:

z ‾   = M x y M   = π a 4 8 3 π a 3 ( 2 - 2 )   = 3 a 8 ( 2 + 2 ) 2   = 3 ( 2 + 2 ) a 16

Resposta

Portanto, concluímos neste exercício, que o centro de massa é o ponto 0,0 , 3 ( 2 + 2 ) a 16 .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrando uma centroide: encontre a centeoide da região entre o eixo x e o arco y y = s e n x ,0 ≤ x ≤ π .
Encontrando um centroide: encontre o centroide da região no primeiro quadrante delimitado pelas reta x + y = 3
Encontrando um centro de massa: Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade δ = 3 delimitada pelas retas x = 0 , y = x e a parábola y = 2 - x 2 no primeiro quadrante.
Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo x de uma placa fina delimitada pelas curvas x = y 2 x = 2 y - y 2 se a densidade no ponto (x,y) for δ x , y = y + 1 .
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