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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 13

Qual o ponto P da curva y = x 2 que se encontra mais próximo de 3 ,   0 ? Seja P = a ,   b tal ponto; mostre que a reta que passa por 3 ,   0 e a ,   b é normal à curva em a ,   b .

Passo 1

Usando a fórmula da distância entre dois pontos, vamos escrever a distância entre 3 ,   0 e um ponto da curva y = x 2 , dado por x ,   x 2 :

d = x - 3 2 + x 2 - 0 2 = x 2 - 6 x + 9 + x 4

Assim, basta minimizar a função f x que está dentro da raiz quadrada:

f x = x 2 - 6 x + 9 + x 4

f ' x = 2 x - 6 + 4 x 3 = 2 2 x 3 + x - 3 = 0

2 x 3 + x - 3 = 0

x = 1

Então, x = 1 minimizará a distância, e o nosso ponto P será x ,   x 2 = 1 ,   1 .

Passo 2

A reta que passa por 3 ,   0 e a ,   b = 1 ,   1 terá coeficiente angular m 1 dado assim:

m 1 = b - 0 a - 3 = 1 - 0 1 - 3 = - 1 2

Para que essa reta seja normal à curva em a , b , devemos calcular a derivada da função y = x 2 no ponto a ,   b = 1 ,   1 , que corresponderá à inclinação m 2 da reta tangente à curva nesse ponto. E assim, se essas retas forem mesmo perpendiculares, vamos obter:

m 2 = - 1 m 1 = 2

Passo 3

A derivada da curva y = x 2 é:

y ' x = 2 x

No ponto a ,   b = 1 ,   1 , essa derivada valerá:

m 2 = y ' 1 = 2 1 = 2

Exatamente o que precisávamos encontrar para mostrar o que o enunciado nos pediu!

Resposta

P = 1 ,   1

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