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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 17

Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r , uma semiesfera de raio r . Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5 π . Determine r e h para que o volume seja máximo.

Passo 1

Pessoal, a área da superfície do sólido será a soma da área lateral do cilindro 2 π r h , da área do fundo do cilindro π r 2 e da metade da área de uma esfera 4 π r 2 2 :

2 π r h + π r 2 + 2 π r 2 = 5 π

h = 5 - 3 r 2 2 r

Assim, acabamos de achar a altura h do cilindro em função do raio r .

Passo 2

Queremos maximizar o volume V , dado pela soma do volume do cilindro π r 2 h e da metade do volume de uma esfera 4 3 π r 3 2 :

V r ,   h = π r 2 h + 2 3 π r 3

Vamos substituir a expressão de h ?

V r =   π r 2 5 - 3 r 2 2 r + 2 3 π r 3

V r = 5 π 2 r - 3 π 2 r 3 + 2 π 3 r 3

Passo 3

Agora, vamos derivar a função V r e igualar a zero:

V ' r = 5 π 2 - 9 π 2 r 2 + 2 π r 2 = 0

5 - 9 r 2 + 4 r 2 = 0

r 2 = 1

r = 1

Conforme já vimos, o valor de h correspondente pode ser calculado assim:

h = 5 - 3 r 2 2 r = 5 - 3 2

h = 1

Resposta

r = 1 ,       h = 1

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