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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 49a

O volume de um balão está crescendo de acordo com a fórmula d V d t = t + 1 + 2 3 t , onde V em cm³ é o volume do balão em t s. Se V = 33 quando t = 3 , ache:

A fórmula para V em termos de t .

Passo 1

Se V ( t ) é a função que dá o volume do balão em função do tempo t , podemos integrar a taxa d V d t para chegarmos a uma família de equações que contem a função V ( t ) . Então devemos primeiro integrar V ' t = d V d t .

Passo 2

d V d t = t + 1 + 2 3 t ⇒ d V = t + 1 + 2 3 t d t

⇒ V t = ∫ t + 1 + 2 3 t d t = t + 1 3 / 2 3 2 + 2 3 ⋅ t 2 2 + C

= 2 t + 1 3 / 2 3 + t 2 3 + C

Mas nossa função ainda está incompleta, pois precisamos achar o valor de C .

Passo 3

Pelo enunciado, temos V 3 = 33 . Então:

V 3 = 2 3 + 1 3 / 2 3 + 3 2 3 + C = 33

⇒ 2 ⋅ 4 3 / 2 3 + 9 3 + C = 33 ⇒ 2 64 3 + 3 + C = 33

2 ⋅ 8 3 + C = 30 ⇒ C = 30 - 16 3 = 90 - 16 3 = 74 3

Agora temos a função V t completa:

V t = 2 t + 1 3 / 2 + t 2 + 74 3

Resposta

V t = 2 t + 1 3 / 2 + t 2 + 74 3

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