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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 25

Corrente em um circuito RL ligado Quantos segundos após ligarmos o interruptor de um circuito RL a corrente i levará para atingir a metade do valor estacionário? Observe que o tempo depende de R e L, e não da voltagem aplicada.

Passo 1

Temos aqui uma EDO, que é dada pela Lei de Kirchoff:

L d i d t + R i = V

Reescrevendo a equação Linear, temos que:

d i d t + R L i = V L

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( t ) d t

e depois aplicar isso à seguinte expressão:

i t = 1 v t ∫ f ⋅ v t d t + c

Passo 2

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P t = R L

f = V L

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ R L d t = e R L t

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

i t = 1 e R L t ∫ V L e R L t d t ⇒ i t = e - R L t V L L R e R L t + c

i t = e - R L t V R e R L t + c = V R e - R L t e R L t + c e - R L t = V R e 0 + c e - R L t

i t = V R + c e - R L t

Passo 5

A condição de contorno aqui é dada para a corrente estacionária, o qual é representada por i 0 = 0 :

i 0 = V R + c e - R L 0 = V R + c e 0 = V R + c = 0

i 0 = V R + c = 0

V R + c = 0 ⇒ c = - V R

Substituindo temos na EDO temos:

i t = V R - V R e - R L t

i t = V R 1 - e - R L t

Passo 6

Como V R = I 0 , podemos inserir na EDO. Contudo, o resultado final será quando I f = I 0 2 , logo:

I 0 2 = I 0 1 - e - R L t ⇒ 1 2 = 1 - e - R L t ⇒ e - R L t = 1 - 1 2

e - R L t = 1 2 ⇒ - R L t = l n 1 2 ⇒ - R L t = - l n 2

R L t = l n 2 ⇒ t = L R l n 2

Resposta

Então a metade da corrente estacionária será:

t = L R l n 2

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