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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 18

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 15-20: θ d y d θ - 2 y = θ 3 s e c   θ   t g   θ y ( π / 3 ) = 2

Passo 1

A EDO em questão e do tipo linear. Essa tem um formato de:

y ` + P θ y = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( θ ) d θ

e depois aplicar isso a seguinte expressão:

y = 1 v θ ∫ f θ ⋅ v θ d θ + c

Passo 2

Podemos reescrever nossa EDO da seguinte maneira:

d y d θ - 2 y θ = θ 2 s e n   θ

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P θ = 1 θ

f = θ 2 s e n   θ

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e - 2 ∫ 1 θ d θ = e - 2 l n   θ

v = e - 2 l n   θ

ou usando a propriedade:

a b = e b l n   a

Temos:

v = θ - 2

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

y = 1 θ - 2 ∫ θ 2 s e c   θ   t g   θ θ 2 d θ ⇒ y = 1 θ - 2 ∫ s e c   θ   t g   θ d θ

Resolvendo a integral trigonométrica, temos que:

y = 1 θ - 2 s e c   θ + c ⇒ y = θ 2 s e c   θ + θ 2 c  

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, y ( π / 3 ) = 2 , temos que:

y ( π / 3 ) = 1 π / 3 s e c   π / 3 + c = 2

π 3 2 2 + c = 2

c = 18 π 2 - 2

Resposta

Então o resultado será:

y = θ 2 s e c   θ + θ 2 18 π 2 - 2

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