Enunciado

Um circuito em série tem um capacitor de 0,25 × 10^–6 F, um resistor de 5 × 10³ Ω e um indutor de 1 H. A carga inicial no capacitor é zero. Se uma bateria de 12 volts for conectada ao circuito e o circuito for fechado em t = 0, determine a carga no capacitor em t = 0,001 s, em t = 0,01 s e em qualquer instante t. Determine, também, a carga limite quando t → ∞.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

∑ V =   - L d i d t

L q ' ' + R q ' + q C = 12

q c = e r t

q c ' = r e r t

q c ' ' = r ² e r t

L C r 2 + R C r + 1 = 0

r = - R 2 L ± R 2 C 2 - 4 L C 2 L C

L q p ' ' + R q p ' + q p C = 12

L A ' ' + R A ' + A C = 12

A = 12 C

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

q 0 = C 1 + C 2 + 12 C = 0

q ' 0 = C 1 - R 2 L - R 2 C 2 - 4 L C 2 L C + C 2 - R 2 L + R 2 C 2 - 4 L C 2 L C = 0

C 1 = 6 C     - 1 + R   C C R 2 - 4 L

C 2 = 6 C     - 1 - R   C C R 2 - 4 L

Resposta

C 1 = 6 C     - 1 + R   C C R 2 - 4 L

C 2 = 6 C     - 1 - R   C C R 2 - 4 L

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